习题 7, § 16

设 L 为 K 的扩张。 For any integer $n\geqslant 1$, denote by $\mathscr{A}_n(L/K)$ the set of isomorphism classes of central simple K-algebras of degree $n^2$ split by L.

a) 证明典范同态 Br(K) $\rightarrow$ Br(L)的核 Br(L$/K$)与集合$\mathscr{A}_n(L/K)$的直极限同构；指定系统或映射。 b) 假设现在L是K的有限伽罗瓦扩张，伽罗瓦群G。从习题6推导出双射$\theta_n:\mathscr{A}_n(L/K)\rightarrow H^1(G,\mathbf{P}\mathbf{G}\mathbf{L}_n(L))$。

c) 由正合序列 $1\rightarrow L^*\rightarrow \mathbf{G}\mathbf{L}_n(L)\rightarrow \mathbf{P}\mathbf{G}\mathbf{L}_n(L)\rightarrow 1$ (习题 5, c)) 推导出$\partial_n: H^1(G,\mathbf{P}\mathbf{G}\mathbf{L}_n(L))\rightarrow H^2(G,L^*)$ 映射和$\delta_n:\mathscr{A}_n(L/K)\rightarrow H^2(G,L^*)$ 映射 $\partial_n\circ \theta_n$ 表示。如果$A\in \mathscr{A}_n(L/K)$，那么当且仅当 A 比 K 矩阵代数时，我们才有 $\delta_n(A) = 0$；如果$A\in \mathscr{A}_p(L/K)$和$B\in \mathscr{A}_q(L/K)$，那么我们有$\delta_{pq}(A\otimes_KB) =\delta_p(A) +\delta_q(B)$。将单射群同态 $\delta_{L/K}:$ Br(L$/K$)$\rightarrow H^2(G,L^*)$由经过推导到直极限。 d) 证明$\partial_n$ 对于$n=$ Card(G) 是满射。 （令$c: G\times G\rightarrow L^*$为$Z^2(G,L^*)$的元素。对于每个$\sigma \in G$，考虑$L^G$的自同态$u(\sigma )$，对于每个$\tau \in G$将$e_{\tau}$发送到$c(\sigma , \tau )e_{\sigma \tau}$，以及确定 $u(\sigma )^{\sigma}u(\tau )u(\sigma \tau )^{-1}.$)

e) 比较$\delta_{L/K}$ 和$\Phi_{L/K}$。

f ) 证明群 Br(K) 可以与群 $(H^2$(Gal $(L/K),L^*$)) 的直接系统的极限相对于固定的K 的代数闭包中包含的K 的有限伽罗瓦扩张集合（按包含排序）进行识别，其中这些群之间的同态是（单射的）膨胀同态。 g) 令 F 为 L 中包含的 K 的扩张和 G 的 Γ 子群，使 F 保持不变。证明以下图表通勤：

Br(L$/K$)$^{r_{F/K}}$ // Br(F$/L$)

$\delta_{L/K}\delta_{F/L}$

$H^2(G,L^*)^{Res^2}/$/$H^2(\Gamma ,L^*)$。

从 Br(F$/K$) 将典范同构推导到同态 Res$^2: H^2(G,L^*)\rightarrow H^2(\Gamma ,L^*)$ 的核。