习题 5, § 19

假设K的特征为$\not= 2$。设 F 为不一定结合的凯莱代数 K-代数 (III, 附录, No. 2)；我们分别用 $s:x\mapsto \overline{x}$ 和凯莱迹表示它的共轭，用 T 和 N 分别表示范数。如果对于 E 的每个非零元素 $x$，存在一个 $x'\in E$ 使得 $T(xx')\not= 0$，我们说 F 的子代数 E 是非简并的。

a) 证明 F 中 $x, y, z$ 的等式 $x(zy) +z(xy) = T(xz)y= (yx)\overline{z}+ (yz)\overline{x}$（约化对于情况$z=x$）。

b) 令 E 为 F 包含 1 的子代数，与 F 不同，在 $s$ 下稳定，且在 K 上为有限维；假设 E 和 F 是非简并的。证明 F 存在非零元素 $j$，使得对于每个 $x\in E$ 和 $N(j)\not= 0$ 都有 $T(xj) = 0$。每 $x\in E$ 对应 $\overline{j}=-j,xj=-jx$，$j^2=\gamma 1_F$ 对应 $\gamma =-N(j)$。

c) 设$x$和$y$为E的元素。证明公式$x(yj) = (yx)j= (yj)\overline{x}$和$(xj)(yj) =\gamma yx$（使用III、附录、p. 654的a）和习题2）。

d) 证明$E + Ej$是F的非简并子代数，在$s$下稳定，并且是维数 2 dim(E)，可以与$\gamma$定义的$(E, s)$的凯莱扩张识别。从 III、附录、No. 2、p. 614 的命题 3 推导出 E 是结合律。

e) 由上推导出非简并凯莱代数K-代数如下：

(i) K-代数 K 赋予恒等对合

(ii) 二次代数超过型$(\alpha ,0)$与$\alpha \not= 0$的K

(iii) 四元数代数超过型$(\alpha ,0, \gamma )$与$\alpha \gamma \not= 0$的K

(iv) 型 $(\alpha ,0, \gamma , \delta )$ 与 $\alpha \gamma \delta \not= 0$ 的八元数代数超过 K。

（Cayley 扩张 $K\subset E_1\subset E_2\subset \cdots \subset F$ 的构造序列，并观察八元数代数不具有结合性。）

f) 证明凯莱代数K-代数其非零元素都是可逆的型之一。

g) 设 R 极大有序域。证明非零元素均可逆的凯莱代数 R-代数同构于 R、C、H 或 O (VIII、p. 368、注 1)。