Bourbaki

习题 7, § 19

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代数, VIII, p. 371

Bourbaki marks this one as harder than the rest.

Google 翻译生成的粗略草稿，质量较低。术语依照术语表，但句子可能有误；之后会由仔细的译文取代。

假设K的特性不同于2。

a) 令 D 为域包含 K，且 F 四元数代数超过型 (α,0,γ)(\alpha ,0, \gamma ) 的 K。证明D⊗KFD\otimes_KF不是域当且仅当在D中存在两个交换元素、xx和yy，使得x2−αy2=γx^2-\alpha y^2=\gamma（应用习题 4，c）VIII、p. 351，首先D⊗KK(i)D\otimes_KK(i)，然后到D⊗KF)D\otimes_KF)。

b) 令 F′F' 为 K 上的另一个四元数代数。则 F⊗KF′F\otimes_KF' 为域当且仅当 NF(q)=NF′(q′)N_F(q) = N_{F'}(q') 中唯一的解，其中 q∈Fq\in F 和 q′∈F′q'\in F' 为纯四元数 (III, §2， p. 618、习题 3)，就是 q=q′=0q=q'= 0。 （约化适用于F为域时的情况，并使用a的准则）。 注，如果xx和yy属于都不到K，则yy属于到K(x)K(x)，并写成x=s+qx=s+q，其中x∈Kx\in K和qq是纯四元数。）

解答

尚未写出解答。

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