习题 12, § 2

设 K 为交换域，K 的 E 和 F 扩张，A 环 $E\otimes_KF$。

a) 如果 E 和 F 是 K 的超越扩张，则环 A 不是局部的。

b) 假设E是K的代数扩张，并分别用$E_s$和$F_s$表示E和F中K的可分闭包。以下属性是等效的：

(i) 环 A 是本地的。

(ii) 环 $E\otimes_KF_s$ 为整环。

(iii) 环 $E\otimes_KF_s$ 为域。

(iv)环$E_s\otimes_KF_s$为域。

当它们成立时，A的最大理想$\mathfrak{m}$是A的幂零元的集合，并且E和F的每个复合扩张同构于$A/\mathfrak{m}$。