习题 18, § 2

设A为E的局部环、E自由A-模、$x$非零元素。设$(e_i)_{i\in I}$为E的基，其中$x$的非零的坐标的数是最小可能的。令此基中$x=\sum a_ie_i$为$x$的表示；用 J 表示指标 $i\in I$ 的集合，使得 $a_i\not= 0$。

a) 证明 A 的正确理想中的 $a_i$ 属于没有一个是由其他生成的。 b) 令 F 和 G 为 E 的补子模，使得 $x\in F$；对于$i\in I$，将$e_i=f_i+g_i$与$f_i\in F$和$g_i\in G$一起写。证明$j\in J$的$f_j$的族由……组成和$i\in I$ - J的$e_i$是E的基（如果$g_j=\sum_{k\in I}b_{jk}e_k$，观察J属于中$j, k$的坐标$b_{jk}$为A 的最大理想，并应用习题 17 d))。推断存在 F 的自由子模且包含 $x$ 并且是 F 的直因子。

c) 证明每个射影 A-模都是自由的（对于模的可数族为生成元的情况，使用卡普兰斯基的定理 (II, §2, p. 386, 习题 2) 到约化，并应用 b)）。