习题 4, § 2

令M为M的A-模和$p$和$q$两个投影算子。

a) 当且仅当我们有 $qp=p$ 时，我们才有 $p(M)\subset q(M)$；当且仅当我们有 $qp=q$ 时，核 Ker($p$) 包含在 Ker($q$) 中。

b) 和 $p+q$ 是投影算子当且仅当我们有 $pq=-qp$。如果$p+q$是投影算子并且在M中，关系$2x= 0$意味着$x= 0$，那么我们有$pq= 0$和$qp= 0$。

c) 证明以下性质是等价的：

(i) 我们有 $pq=qp$。

(ii) 我们有$q(p(M))\subset p(M)$和$q$(Ker($p$))$\subset$Ker($p$)。

(iii) M 的两两正交投影算子存在序列$(p_1, p_2, p_3, p_4)$，使得$p=p_1+p_2,q=p_1+p_3$和$1_M=p_1+p_2+p_3+p_4$。

这样的序列，当它存在时，是唯一的：我们有$p_1=pq$。