习题 5, § 2

设 A 为环。

a) A 的元素 $e$ 是幂等的当且仅当映射 $x\mapsto xe$ 是左A-模 $A_s$ 的投影算子 （分别映射 $x\mapsto ex$ 是右A-模的投影算子 $A_d$）。

b) 令$e_1, e_2$在环A中幂等。证明群Hom$_A(Ae_1,Ae_2)$同构于$e_1A\cap Ae_2=e_1Ae_2$，并且环End$_A(Ae_1)$同构于环$e_1Ae_1$。

c) 令 $e_1, e_2$ 为 A 中的幂等。证明以下性质是等价的：

（一）$Ae_1= Ae_2$。

(ii) $e_1e_2=e_1$ 和 $e_2e_1=e_2$。

（三）$(1-e_1)A = (1-e_2)A$。

当他们满意时，存在可逆元$a\in A$使得$e_2=$$ae_1a^{-1}$。 d) 令 $e_1, e_2$ 为 A 中的两个幂等。证明以下性质是等价的：

(i) 左A-模 $Ae_1$ 和 $Ae_2$ 同构的。

(ii) 右A-模 $e_1A$ 和 $e_2A$ 同构的。

(iii) A 存在元素 $x, y$，使得$xy=e_1$ 和$yx=e_2$。

当它们满足时，我们说$e_1$和$e_2$是等价幂等的。

e) 如果 A 中的幂等相等且 A 的属于到中心，则它们相等。

f ) 令 $(e_i)_{i\in I}$ 和 $(f_i)_{i\in I}$ 为 A 中幂等的有限族，使得 $i\in I,j\in I,i\not=j$ 具有 $e_ie_j= 0$ 和 $f_if_j= 0$，并且对于每个 $i\in I$，$e_i$ 等价于 $f_i$。那么$e=\sum_{i\in I}e_i$和$f=\sum_{i\in I}f_i$在A中是等价的。