习题 6, § 2

令A为A的环和$u$和$v$两个元素，使得$uv= 1$和$vu\not= 1$。对于$i\geqslant 1$和$j\geqslant 1$，我们集合$e_{ij}=v^{i-1}u^{j-1}-v^iu^j$。

a) 证明对于$i, j, k, h$整数$\geqslant 1$我们有$e_{ij}\not= 0$和$e_{ij}e_{hk}=\delta_{jh}e_{ik}$。

b) 证明 A 的左理想$Ae_{ii}$（对于$i\geqslant 1$）是非零的，成对同构为A-模（使用习题 5 d）），并且它们的和是直接的。

c) 证明对于每个$i\geqslant 1$我们都有$u(v+e_{1i}) = 1$，对于$i\geqslant 1,j\geqslant 1$、$i\not=j$都有$e_{1i}\not=e_{1j}$。

d) 设 B 为环，其具有 VIII、p. 15、a) 的习题 7 的等价性质。由上可知，B的每个左或右可逆元都是可逆的。