习题 6, § 4

如果 M 的每个非零的商包含简单子模，模 M 称为半阿廷的。每阿廷模和域以上的每向量空间是半阿廷的。

a) 设$0\rightarrow M'\rightarrow M\rightarrow M''\rightarrow 0$为正合序列。那么 M 是半阿廷的当且仅当同样适用于 $M'$ 和 $M''$（如果 M 是半阿廷的，则考虑 M 的子模 N 的集合中的极大元素，使得 $N\cap M'= 0$）。

b) 半阿廷的模的家庭的直和是半阿廷的模。 c) 设 K 为域，A 乘积环 $K^{\mathbf{N}}$。证明A-模$A_s$不是半阿廷的甚至虽然而是单A-模的乘积（如果$\mathfrak{s}$是$A_s$的底层，证明A-模$A_s/\mathfrak{s}$不包含任意单模）。

d) 设 A 为左诺特环，M 半阿廷的 A-模。证明 M 是其阿廷的子模的和（令 S 是 M 的阿廷的子模的和；观察如果 N 是 M 的有限生成的子模，且 $M/S$ 中有简单的像，则$N\cap S$ 是阿廷的）。特别是，如果 M 是有限生成的，则它是阿廷的。 e) 设 D 为域，V 无限维D-向量空间，End$_D(V)$ 的 A 子环由 D 的中心和有限秩的自同态生成。证明$A_s$是半阿廷的（使用a）和b）），但不是其阿廷的子模的和。