习题 7, § 4

设 A 为环，M 为 A-模。如果对于 M 的每个非零的子模 P 都有 $N\cap P\not= 0$，则 M 的子模 N 被称为必要的。

a) 证明 M 的每个子模 N 都是本质子模的直因子（考虑子模 P 是 A 的子模和零交和 N 中最大的）。

b) 证明M的底层是M的本质子模的交（从a）推导出这个交是半单）。特别是，M 是半单当且仅当它除了自身之外不存在包含任何必要的子模 。