Exercice 7, § 4

Soient A un anneau, M un A-module. On dit qu’un sous-module N de M est essentiel si pour tout sous-module non nul P de M, on a $N\cap P\not= 0$.

a) Démontrer que tout sous-module N de M est facteur direct d’un sous-module essentiel (considérer un sous-module P maximal parmi les sous-modules de A dont l’intersection avec N est nulle).

b) Prouver que le socle de M est l’intersection des sous-modules essentiels de M (déduire de a) que cette intersection est semi-simple). En particulier, pour que M soit semi-simple, il faut et il suffit qu’il ne contienne pas de sous-module essentiel autre que lui-même.