习题 1, § 7

设 D 为域，V 右向量空间在 D 上，且 A 环 End$_D(V)$。 For any linear subspace W of V, we denote the set of elements $a$ of A satisfying $aW = 0$ (resp. $aV\subset W$) by $\mathfrak{a}(W)$ (resp. $\mathfrak{b}(W)$).

a) 证明映射$W\mapsto \mathfrak{a}(W)$（或$W\mapsto \mathfrak{b}(W)$）是递减（或递增）双射，从V的线性子空间的集合到集合的左（或右）理想，由幂等的。

b) A 的最小左理想是理想 $\mathfrak{a}$(H)，其中 H 是 V 中的超平面。最小右理想是理想 $\mathfrak{b}$(D)，其中 D 是 V 中的一条线。推导出有限长度的 A 的左（右）理想的形式。

c) 令W和$W'$是V中的两个子空间，使得$W\not= 0$和$W'\not= V$。证明交$\mathfrak{a}(W)\cap \mathfrak{b}(W')$不减为0。

d) 从 A 到 End$_{D^o}(V^*)$ 的子环 B 映射 $u\mapsto^tu$ 定义环同构。证明同构下$\mathfrak{a}(W)$（或$\mathfrak{b}(W)$）的像是理想$\mathfrak{b}(W^o)$（或$\mathfrak{a}(W^o)$）在B上的迹，其中$W^o$表示W在$V^*$中的正交。

e) 设$\mathfrak{F}$为V的线性子空间的集合。对于 A 的任何左理想$\mathfrak{a}$，用子空间 Ker $u$ 的$\mathfrak{F}$ 由……组成的$\mathfrak{F}(\mathfrak{a})$ 子集表示，其中$u$ 穿过$\mathfrak{a}$。 集合$\mathfrak{F}(\mathfrak{a})$在交下稳定，$\mathfrak{F}(\mathfrak{a})$属于到$\mathfrak{F}(\mathfrak{a})$的V包含元素的每一个线性子空间。用这两个性质证明从A的左理想集合到$\mathfrak{F}$的子集集合，映射$\mathfrak{a}\mapsto \mathfrak{F}(\mathfrak{a})$为双射。 f ) 假设V的维数无限大，用$\mathfrak{c}$表示。令 $\mathfrak{m}$ 为 A 的最大左理想，且不属于形式 $\mathfrak{a}(D)$。证明子空间$W\in \mathfrak{F}(\mathfrak{m})$的交减为0，每个子空间都是无限维的，并且存在这样的余维$\mathfrak{c}$的子空间。