习题 11, § 7

令 K 为交换域和 V 向量空间，K 允许基 $(e_n)_{n\geqslant 1}$。令$u$和$v$为$p >1$由$u(e_1) = 0,u(e_p) =e_{p-1}$定义的V的自同态，为$p\geqslant 1$定义$v(e_p) =e_{p+1}$，并令A为由$1,u$生成的End$_K(V)$的K-子代数，并且$v$。我们有$uv= 1_V$和$vu\not= 1_V$。

a) 证明 A 超过 K 的元素 $v^iu^j(i\geqslant 0, j\geqslant 0)$ 形式基。

b) 证明环 A 是原语，并且其底层 $\mathfrak{s}$ 是 V 的自同态 $w$ 的集合，使得序列 $(w(e_p))_{p\geqslant 1}$ 有有限支撑（观察$\mathfrak{s}$ 是最小的包含$1_V-vu$的双面理想）。 Prove that K-代数 $A/\mathfrak{s}$ is isomorphic to $K[X,X^{-1}]$.