习题 14, § 7

令 K 为交换域。设 M 为由两个元素 $x$ 和 $y$ 生成的自由幺半群，并令 A 为 K 上幺半群 M 的代数。令 V 为 K 上的向量空间，承认基 $(e_n)_{n\geqslant 1}$。

a) 我们在 V A-模定义结构，设定 $xe_1= 0,xe_p=e_{p-1}$ $p >1$，$ye_p=e_{2^p}$ $p\geqslant 1$。证明V是单A-模。

b) 证明A-模V是可信的。 （令$z\in M$。对于$n\in \mathbf{N}$，表示整数$s$，使得$e_s=ze_n$乘以$P_z(n)$。观察到我们在M中对$z, t$有$P_{zt}= P_z\circ P_t$。在长度上通过归纳进行推导$z$和$t$，如果整数$n$的$z\not=t$、集合使得$P_z(n) = P_t(n)$是有限的。） c) 同样，对于每个整数$r >2$，通过设定证明$xe_1= 0,xe_p=e_{p-1}$对应$p >1$，$ye_p=e_{r^p}$对应$p\geqslant 1$，我们在V上定义结构简单而忠实的A-模。证明这些结构是成对非同构的。