习题 3, § 7

设 D 为域，V 右向量空间在 D 上，且 A 子环为环 End$_D(V)$。

a) 证明以下条件等价：

(i) 对于V中的每个自同态$u$和V中向量的每个有限序列$x_1, . . . , x_n$，存在满足$u(x_i) =a(x_i)$的元素$a$ $1\leqslant i\leqslant n$。

(ii) 对于元素$x, y$的V和$x\not= 0$的每个对，存在一个$a\in A$使得$a(x) =y$。

当满足这些条件时，我们说End$_D(V)$的子环A是稠密的。从现在起假设 A 是稠密的。

b) 证明 A 是原语 (VIII, p. 120, 注 2)。相反，证明每个本原环同构于自同态环或向量空间的稠密子环。

c) 证明 A 的中心的非零元素是单射自同态。特别地，本原环中的中心是整环。

d) 假设 V 是无限维的。对于每一个整数$n >0$，证明A存在子环$A_n$和满同态$A_n\rightarrow \mathbf{M}_n(D)$。