习题 4, § 7

设A为本原环。

a) 如果环 A 是可交换的（分别为左阿廷的），则它是域（分别为简单的环）。

b) 设$\mathfrak{a}$和$\mathfrak{b}$为A的非零的左理想。证明理想$\mathfrak{a}\mathfrak{b}$不是零。[^1]推论A的有限多个非零的两侧理想中的交不会降为0。

c) 证明如果对于每个 $a\in A$，元素 $1 +a^2$ 在 A 中可逆，则 A 是域（使用习题 3，b））。

[^1]: In this exercise and the next, if $\mathfrak{a}$ and $\mathfrak{b}$ are left ideals of A, we denote by $\mathfrak{a}\mathfrak{b}$ the left ideal generated by the products $ab$ for $a\in \mathfrak{a}$ and $b\in \mathfrak{b}$.