习题 7, § 7

设A为环。

a) 设$\mathfrak{a}$为A的最小左理想。证明我们有$\mathfrak{a}^2= 0$或$\mathfrak{a}^2=\mathfrak{a}$。在后一种情况下，证明$\mathfrak{a}$中存在幂等$e$，使得$\mathfrak{a}= Ae$（如果$a\in A$使得$\mathfrak{a}a=\mathfrak{a}$，则考虑$\mathfrak{a}$的自同构$x\mapsto xa$）。

b) 令 $e$ 为 A 中的幂等。当且仅当环 $eAe$ 为域时，理想的 $Ae$ 才最小。

c) 设$\mathfrak{a}$和$\mathfrak{b}$为A的两个同构左理想。证明如果$\mathfrak{a}^2=\mathfrak{a}$则有$\mathfrak{a}\mathfrak{b}=\mathfrak{b}$，如果$\mathfrak{a}^2= 0$则有$\mathfrak{a}\mathfrak{b}= 0$。