习题 8, § 7

设 A 为环。 A 的左底层（或简称底层）$\mathfrak{s}$是A-模$A_s$的底层，即A的最小左理想的（VIII，p. 65）、和。为半单A-模，其同型组件称为其脚。令 $\mathfrak{a}$ 为 $\mathfrak{s}$ 的英尺。

a) 证明$\mathfrak{a}$是双面理想，$\mathfrak{a}$包含的平方为零（习题7）的最小理想中的和是双面理想，即$\mathfrak{a}$的交及其湮没子。

b) 假设 $\mathfrak{a}$ 包含是具有非零的平方的最小理想。证明$\mathfrak{a}$中不存在非零元素$x$使得$\mathfrak{a}x= 0$（使用习题7，c））。

c) 在b)的假设下，证明伪环$\mathfrak{a}$（I, §8, No. 1，p. 98）的每个左理想都是A的理想（观察$\mathfrak{a}$的最小理想是$\mathfrak{a}$中包含的A的最小理想）。

d) 假设 A 的底层 $\mathfrak{s}$ 不存在包含平方为零的任何最小左理想。证明具有有限长度为A-模的A的每个左理想$\mathfrak{b}$都包含在$\mathfrak{s}$中（$\mathfrak{b}$的长度上的使用归纳法乘以注意到，如果$e$在$\mathfrak{b}$中是幂等的，那么$\mathfrak{b}e$就是$\mathfrak{b}$的直因子）。