习题 9, § 7

设 D 为域，D 上的 V 右向量空间，且 A 稠密子环为环 End$_D(V)$ (习题 3)。

a) 有限秩的子环包含非零的自同态当且仅当A的底层$\mathfrak{s}$是非零的（使用习题4,a）和7,b）来证明A的最小理想由幂等，则该幂等有秩 1)。 A 的底层则有一只脚 (习题 4, a))。

b) 从现在开始，假设$\mathfrak{s}\not= 0$。设$\mathfrak{a}$为A的最小左理想。证明V的对偶$V^*$存在元素$\ell$，使得$\mathfrak{a}$由自同态$z\mapsto v \ell (z)$和$v\in V$组成。令$V'$为线性形式$\ell \in V^*$的集合，使得对于每个$v\in V$，自同态$z\mapsto v \ell (z)$属于到A。证明$V'$是$V^*$的$(D,A)$子双模，并且$\mathfrak{s}$是有限秩的V的自同态的集合，其核可以写成Ker$\ell_1\cap \cdots \cap$ Ker$\ell_n$ 与 $\ell_1, . . . , \ell_n$ 位于 $V'$。如果向量空间 V 是有限维且 A = End$_D(V)$，我们只能有 $\mathfrak{s}= A$。

c) 设$\mathfrak{b}$为A的最小右理想。证明存在向量$v\in V$，使得$\mathfrak{b}$由自同态$z\mapsto v \ell (z)$和$\ell \in V'$组成。推断 A 的右侧底层等于其左侧底层 $\mathfrak{s}$。

d) 此外，证明 $\mathfrak{s}$ 是 A 的最小的非零的双面理想。

e) 从 b) 推导出 a（左或右）诺特本原环与非零的底层是简单的（通过考虑 $\mathfrak{s}$ 中包含的理想，证明 V 必然是有限维的）。

f ) 令 M 为 V 的有限维子空间。证明V的$\mathfrak{s}$包含投影算子$e_M$与像M。（令$N'\subset V'$为M正交的补充子空间。证明存在基 M 的 $(v_j)_{1\leqslant j\leqslant k}$ 和 $N'$ 的 $(\ell_i)_{1\leqslant i\leqslant k}$ 使得 $\ell_i(v_j) =\delta_{ij}$，并考虑自同态 $x\mapsto \sum_iv_i\ell_i(x).$）令 N 为 $e_M$ 的核。证明V的每个自同态$u$使得$u(M)\subset M$和$u(N) = 0$属于到$\mathfrak{s}$。

g) 令J为A的有限子集。证明存在分解$V = M\oplus N$，其中M是有限维子空间，N是$V'$的有限子集的正交，使得环为自同态 V的$u$，使得$u(M)\subset M$和$u(N) = 0$包含在A和包含J中。（令$M_1=\sum_{u\in J}$Im$u$和$N_1=\cap_{u\in J}$Ker$u$，将f）应用于子空间M 包含于$M_1$，使得$M + N_1= V$，然后取$N_1.)$中包含的N