习题 3, § 8

如果存在整数$n$，使得$n$元素的每个乘积和$\mathfrak{a}$都是零，我们说环的（左或右）理想$\mathfrak{a}$是幂零的。

a) 令$\mathfrak{a}$为A的幂零左理想。证明$\mathfrak{a}$生成的双边理想$\mathfrak{a}A$是幂零的。

b) 如果包含不存在任何非零的幂零双面理想，我们称环A是半素数。如果商环 $A/\mathfrak{a}$ 是半素数，我们就说 A 的双面理想 $\mathfrak{a}$ 是半素数。证明半素（双面）理想族的交是半素理想，并且半素理想包含 A 的每个幂零理想。

c) 素数（双面）理想（VIII、p. 133、习题 15）是半素数。双面理想 $\mathfrak{a}$ 是半素数当且仅当它是包含的素理想中的交 。 （如果$a \notin \mathfrak{a}$，则考虑双边理想包含$\mathfrak{a}$中最大的理想，并且不包含$a.$中的任何幂）