习题 11, § 9

设 A 为交换环，B 环 A[X]。

a) 首先，假设 A 没有非零幂零元。令$f=\sum_ia_iX^i$和$g=\sum_ib_iX^i$为B的两个元素。证明对于$p+q >$度($f g$)我们有$a_pb_q= 0$。 b) 令 $\mathfrak{N}$ 为 A 的零根 (习题 6)。证明多项式$f\in B$在B中可逆当且仅当其常数项在A中可逆且其其他系数属于至$\mathfrak{N}$（将a）应用于$(A/\mathfrak{N})[X])$中$f$的像。 c) 推论B的根式是理想的$\mathfrak{N}[X]$，并且它等于B的零根式。