习题 16, § 9

设A为环和$\mathfrak{a}$包含在A的根式中的双面理想。设M和N为A-模和$u: M\rightarrow N$同态。我们用从$u$推导出的$A/\mathfrak{a}$模块的$\overline{u}: M/\mathfrak{a}M\rightarrow N/\mathfrak{a}N$同态来表示。

a) 假设 M 和 N 是有限生成的，并且 N 是射影的。如果$\overline{u}$是双射的，那么$u$也是双射的。

b) 给出例，其中 M 和 N 不含秩 1 和 $\overline{u}$ 单射，但 Ker($u$)$\not= 0$。 c) 假设 M 和 N 是射影的。如果$\overline{u}$诱导同构到直因子，那么$u$是单射的（约化对于M和N自由且相等且$\overline{u}$是恒等式的情况，然后使用a））。此外，如果 M 是有限生成的，则 $u$ 的像是 N 的直因子。 d) 假设 M 是有限生成的，并且 N 是射影的。如果$u$是双射的，那么$u$也是双射的（应用c）到同态$v: N\rightarrow M$使得$v=u^{-1}$到结论N是有限生成的）。 e) 如果 M 是射影且 $M/\mathfrak{a}M$ 是零，则 M 是零。