习题 21, § 9

设A为环，$u: P\rightarrow M$满同态/A-模，N为核。我们用 P 的 End$_A(P; N)$（分别是 Aut$_A(P; N)$）环（分别是自同态）环（分别是自同构的群）$u$ 来表示 $u(N)\subset N$。

a) 定义正合序列

$0\rightarrow$坎$_A(P,N)\rightarrow^i$结束$_A(P; N)\rightarrow^p$结束$_A(M)$

其中$i$的像是环End$_A(P; N)$的双面理想$\mathfrak{I}$。

b) 假设 $(P, u)$ 是 M 的射影覆盖。则 $p$ 是射影且诱导满同态 $p':$ Aut$_A(P; N)\rightarrow$ Aut$_A(M)$。我们有正合序列 / 群

$0\rightarrow 1_P+\mathfrak{I}\rightarrow$ 自动$_A(P; N)\rightarrow^{p'}$ 自动$_A(M)\rightarrow 0$;

如果 P 是自由的并且 N 不减少到 0，则同态 $p'$ 不是内射的。