习题 23, § 9

设 A 为环，$\mathfrak{a}$ A 的（左）理想。假设对于 $\mathfrak{a}$ 的元素的每一个序列 $(a_n)_{n\geqslant 1}$，都存在整数 $m$，使得 $a_1\cdots a_m= 0$。证明对于每个非零的 A-模 M，我们都有 $\mathfrak{a}M\not= M$（如果没有，则通过归纳、序列 $(a_n)_{n\geqslant 1}$ 在 $\mathfrak{a}$ 和 $(x_n)_{n\geqslant 1}$ M 进行构造，这样我们对于每个$a_1\cdots a_px_p\not= 0$ $p$）。