习题 24, § 9

设 A 为环，$\mathfrak{r}$ 其根式。证明以下性质是等价的：

(i) 每个有限生成的左A-模都承认射影覆盖。

(i’) 每个有限生成的右A-模都承认射影覆盖。

(ii) 环 $A/\mathfrak{r}$ 是半单，$A/\mathfrak{r}$ 中的每个幂等都是 A 中幂等的类。

（为了证明 (i)$\Rightarrow$(ii)，请观察理想提升到分解 $A = P_1\oplus P_2$ 的每个分解 $A/\mathfrak{r}=\mathfrak{a}_1\oplus \mathfrak{a}_2$ 到直和，其中 $P_i$ 是 $\mathfrak{a}_i$ 的射影覆盖。此外，表明 (ii) 意味着每个$A/\mathfrak{r}$-模为形式 $(A/\mathfrak{r})\otimes_AP$，其中 P 是射影 A-模。）