习题 25, § 9

设 A 为环，$\mathfrak{r}$ 其根式。证明以下条件是等价的：

(i) 每个左A-模都有一个投影覆盖。

(i’) 每个右A-模都有一个投影覆盖。

(ii) 环$A/\mathfrak{r}$是半单，并且对于$\mathfrak{r}$的元素的每一个序列$(a_n)_{n\geqslant 1}$，存在整数$m$使得$a_1\cdots a_m= 0$。

（证明（ii）$\Rightarrow$（i）与习题24，利用习题23的相应的蕴涵相同。假设满足条件（i）。考虑$e_1-a_1e_2,e_2-a_2e_3, . .$生成的$A^{(\mathbf{N})}$的子模M..从习题 16，e) 应用于$A^{(\mathbf{N})}/M$的投影覆盖，我们有$M = A^{(\mathbf{N})}$，这意味着$a_1\cdots a_n= 0$适用于$n$足够大。）