习题 26, § 9

如果 A 的每个左理想不是零理想包含非零的幂等，则环 A 称为 Zorn环。

a) 证明在Zorn环中，每个非零理想包含非零的幂等的右理想（观察对于A的每个非零幂元素$a$，存在一个$x\in A$使得$xaxa=xa\not= 0$）。

b) 证明Zorn环的根式是零理想，并且没有零因子的Zorn环是域。

c) 证明本原环与非零的底层为 Zorn环 (cf. VIII, p. 129, 习题 4, b) 和 p. 130, 习题 7, a))。给出本原环中的例不是Zorn环（cf.VIII、p. 132、习题13）和本原环中的例，其底层是非零的但其中心不是Zorn环（使用习题 12 中的方法）。

d) 设 K 为交换域，A 子环为 $K(X)^{\mathbf{N}}$ 由……组成为序列 $s= (f_n)$，其中存在多项式 $\varphi (s)\in K[X]$，使得 $f_n$ 等于 $\varphi (s)$（对于 $n$） 足够大。证明 A 是交换律 Zorn环，无根式，包含元素既不可逆，也不是零因子，但其像 $\varphi (A)$ 不是 Zorn环。