习题 27, § 9

环 A 被称为绝对平坦的，或冯·诺依曼正则，如果对于 A 的每个元素 $a$，都存在一个 $x\in A$ 使得 $axa=a$。

a) 环 A 是绝对平坦的当且仅当 A 的每个单生左（或右）理想在 $A_s$ 中承认补充（即由幂等生成）。

b) 证明绝对平坦环的每个有限生成理想都是由幂等生成的。 （约化到理想$Ae+ Af$的情况，其中$e$和$f$是幂等的。然后，通过替换$Ae$和$Ae(1-f)$，约化到$ef= 0$的情况，并考虑元素 $e+f-f e.$)$A$（左或右）诺特绝对平坦环为半单。

c) 从 b) 中推出绝对平坦环的两个单生左（或右）理想的交是单生的（考虑右湮灭子）。

d) 绝对平坦环中的每一个商环都是绝对平坦的，绝对平坦环中的每一个乘积也是绝对平坦的。

e) 证明绝对平坦环的根式约简为0。推论A的每一个两侧理想都是其最大左理想包含的交。 f) 绝对平坦环的中心绝对平坦（证明如果$a\in Z$和$x\in A$满足$a^2x=a$，那么对于每个$n\geqslant 0$和$a(a^2x^3)a=a$我们都有$a^2x^n\in Z$）。 g) 证明向量空间中的自同态环是绝对平坦环。