习题 30, § 9

a) 设 A 为环，包含除 0 外不存在幂零元。证明 A 的属于至中心中的每个幂等 $e$（考虑元素 $(1-e)xe$ 和 $ex(1-e)$）。

b) 设A为绝对平坦环，包含除0外不存在幂零元，并令$a$为A的非零元素。证明A存在元素$x$，使得$e=ax=xa$幂等且$ea=ae=a$。推断对于每个$y\in A$，都存在一个$z\in A$，使得$ya=az$，因而，A 的每个左理想或右理想都是两侧的。

c) 证明包含非零幂零元中没有商环（使用b））。推断 A 同构于乘积 $\prod_{\iota\in I}D_{\iota}$ 的子环 C 域，使得 pr$_{\iota}(C) = D_{\iota}$ 对于每个$\iota \in I$（从 b 推导出）和 VIII 的习题 4， p. 129，没有幂零元的绝对平坦的本原环是域，并使用上面的习题12）。

d) 设$(D_{\iota})_{\iota\in I}$为域和B环$\prod_{\iota\in I}D_{\iota}$的无限族。对于I的任何子集 H，用$B_H$表示$(b_{\iota})_{\iota\in I}$族的B由……组成的双边理想，使得$b_{\iota}= 0$代表$\iota \notin H$。设$\mathfrak{F}$为I的子集的递增有向集合，形成I的覆盖，并令A为由1和$H\in \mathfrak{F}$的$B_H$生成的B的子环。证明 A 绝对平坦且包含不非零幂零元。