习题 7, § 9

令A为环，并令I为序数$\alpha$的集合，使得Card($\alpha$)$\leqslant$Card(A)（集合理论，III, §6，p. 241，习题10）。对于所有$\alpha \in I$，定义双面理想$\mathfrak{N}_{\alpha}$如下超限归纳。取 $\mathfrak{N}_0=\mathfrak{N}$ (习题 6, b))。如果$\alpha$承认后继者$\alpha + 1$，则$\mathfrak{N}_{\alpha+1}$是双边理想，使得$\mathfrak{N}_{\alpha+1}/\mathfrak{N}_{\alpha}$是$A/\mathfrak{N}_{\alpha}$幂零双边理想的和。如果$\alpha$是极限序数，则将$\mathfrak{N}_{\alpha}$取为$\beta < \alpha$的$\mathfrak{N}_{\beta}$的并。令$\tau$为最小的序数，使得$\mathfrak{N}_{\tau+1}=\mathfrak{N}_{\tau}$；理想的$\mathfrak{P}=\mathfrak{N}_{\tau}$称为A的素根。

a) 证明我们有 $\mathfrak{N}\subset \mathfrak{P}\subset \mathfrak{G}$ 并且 $\mathfrak{P}$ 是 A.[^1] 最小的半素零理想

b) 证明$\mathfrak{P}$是A的半素双面理想的交（cf.VIII，p. 149，习题3）。

c) 证明 $\mathfrak{P}$ 是 A 的素数双面理想的交（前述，c））。 d) 用以下性质证明$\mathfrak{P}$是A的元素$a$的集合：A的元素的每个序列$(a_n)_{n\geqslant 0}$，使得每个$n$的$a_0=a$和$a_{n+1}\in a_nAa_n$有有限支撑（与上述位置中的方法相同）。

[^1]: For an example of a ring such that $\mathfrak{P}\not=\mathfrak{G}$, see R. 贝尔，激进理想，阿梅尔。 数学杂志。 65 (1943)，p. 540。