习题 23, § 1

令 E 为有序集合并令 $R_0(E) = R(E) - \{\emptyset\}$ (习题 22)。对于每个$x \in E$，让$r(x)$表示唯一的正则开集合，其中间隔$[x, \rightarrow[$（这是一个开集合）是共尾的。这样定义的映射$r$称为E到$R_0(E)$的典范映射。赋予 $R_0(E)$ 序关系 与关系的包含关系相反*。

(a) 证明映射$r$是递增并且$r(E)$是$R_0(E)$的共尾数。

(b) 如果典范映射 $r : E \rightarrow R_0(E)$ 是单射的，则有序集合 E 被称为“反向”。为此，满足以下两个条件是必要且充分的：

(I) 如果$x$和$y$是E的两个元素，使得$x < y$，则存在$z \in E$使得$x < z$且区间$[y, \rightarrow[$和$[z, \rightarrow[$不相交。

(II) 如果$x$和$y$是E的两个不可比较的元素，则要么存在$x' \geqslant x$使得间隔$[x', \rightarrow[$和$[y, \rightarrow[$不相交，要么存在$y' \geqslant y$使得间隔$[x, \rightarrow[$和 $[y', \rightarrow[$ 不相交。

(c) 证明，对于每个有序集合 E，$R_0(E)$ 是反向的，并且 $R_0(E)$ 到 $R_0(R_0(E))$ 的典范映射是双射的（使用习题 22 (a)）。