习题 12, § 2

令I为全序集，并令$(\mathbf{E}_\iota)_{\iota \in \mathbf{I}}$为由I索引的有序集族。让$\mathbf{R}\{x, y\}$表示$\mathbf{E} = \prod_{\iota \in \mathbf{I}} \mathbf{E}_\iota$上的以下关系：“指标$\iota \in \mathbf{I}$的集合使得$\mathrm{pr}_\iota x \neq \mathrm{pr}_\iota y$是良序的，并且如果$\varkappa$是这个子集的最小元素 I，我们还有$\mathrm{pr}_\varkappa x < \mathrm{pr}_\varkappa y$”。证明 E 上 $x$ 和 $y$ 之间的 $\mathbf{R}\{x, y\}$ 是序关系。如果 $\mathbf{E}_\iota$ 是全序的，则证明 E 相对于关系的连通分量“$x$ 和 $y$ 是可比较的”（章 II, § 6， 习题 10) 是全序集。假设每个$\mathbf{E}_\iota$至少有两个元素。那么 E 是全序的当且仅当 I 是良序的并且每个 $\mathbf{E}_\iota$ 都是全序的（使用习题 3）；那么 E 就是 $\mathbf{E}_\iota$ 的字典顺序乘积。