Bourbaki

习题 13, § 2

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集合论, III, 223

Google 翻译生成的粗略草稿，质量较低。术语依照术语表，但句子可能有误；之后会由仔细的译文取代。

(a) 设Is(Γ,Γ′)\mathrm{Is}(\Gamma, \Gamma')为关系，“Γ\Gamma是一个排序（在E上），Γ′\Gamma'是一个排序（在E'上），并且存在E的同构，按Γ\Gamma排序，在E'上，按Γ′\Gamma'排序”。证明对于每个集合（其中元素是排序），Is(Γ,Γ′)\mathrm{Is}(\Gamma, \Gamma') 是等价关系。 项 τΔ(Is(Γ,Δ))\tau_\Delta(\mathrm{Is}(\Gamma, \Delta)) 是一种称为 Γ\Gamma 的 序型 的排序，由 Ord (Γ)(\Gamma) 表示，或滥用记号表示为 Ord(E)。两个有序集同构当且仅当它们的序型相等。

(b) 设R{λ,μ}R\{\lambda, \mu\}为关系：“λ\lambda为序型，μ\mu为序型，并且存在集合的同构，按λ\lambda排序到子集集合由 μ\mu 订购”。证明 R{λ,μ}R\{\lambda, \mu\} 是 λ\lambda 和 μ\mu 之间的预序关系。它将用λ≺μ\lambda \prec \mu表示。

(c) 令I为有序集合，并令(λι)ι∈I(\lambda_\iota)_{\iota \in I}为由I索引的序型族。由λι\lambda_\iota (ι∈I\iota \in I) 排序的集合族的序数和 (§ 1, 习题 3) 的序型称为序型 λι\lambda_\iota的*序数和* (ι∈I\iota \in I) 并用∑ι∈Iλι\sum\limits_{\iota \in I} \lambda_\iota表示。如果(Eι)ι∈I(E_\iota)_{\iota \in I}是有序集的家族，则∑ι∈IEι\sum\limits_{\iota \in I} E_\iota的序型就是∑ι∈IOrd(Eι)\sum\limits_{\iota \in I} \mathrm{Ord}(E_\iota)。如果 I 是一个家庭 (Jϰ)ϰ∈K(J_\varkappa)_{\varkappa \in K} 的序数和，请证明

∑ϰ∈K(∑ι∈Jϰλι)=∑ι∈Iλι.\sum_{\varkappa \in K} \left( \sum_{\iota \in J_\varkappa} \lambda_\iota \right) = \sum_{\iota \in I} \lambda_\iota.

(d) 令I为良序集且(λι)ι∈I(\lambda_\iota)_{\iota \in I}由I索引的序型族。按 λι\lambda_\iota (ι∈I\iota \in I) 排序的集合族的词典乘积的序型称为(λι)ι∈I(\lambda_\iota)_{\iota \in I}族的*序数乘积*，并用Pι∈Iλι\mathop{\mathsf{P}}\limits_{\iota \in I} \lambda_\iota表示。如果(Eι)ι∈I(E_\iota)_{\iota \in I}是有序集的族，则(Eι)ι∈I(E_\iota)_{\iota \in I}族的词典乘积的序型就是Pι∈IOrd(Eι)\mathop{\mathsf{P}}\limits_{\iota \in I} \mathrm{Ord}(E_\iota)。如果 I 是由良序集 K 索引的良序集 (Jϰ)ϰ∈K(J_\varkappa)_{\varkappa \in K} 族的序数和，则表明

Pϰ∈K(Pι∈Jϰλι)=Pι∈Iλι.\mathop{\mathsf{P}}_{\varkappa \in K} \left( \mathop{\mathsf{P}}_{\iota \in J_\varkappa} \lambda_\iota \right) = \mathop{\mathsf{P}}_{\iota \in I} \lambda_\iota.

(e) 我们用λ+μ\lambda + \mu（或μλ\mu\lambda）表示(ξι)ι∈J(\xi_\iota)_{\iota \in J}族的序数和（或乘积），其中J={α,β}J = \{\alpha, \beta\}是集合，有两个不同的元素，排序如下： 关系，其图为{(α,α),(α,β),(β,β)}\{(\alpha, \alpha), (\alpha, \beta), (\beta, \beta)\}，其中ξα=λ\xi_\alpha = \lambda，ξβ=μ\xi_\beta = \mu。证明如果I是序型λ\lambda的良序集，并且如果(μι)ι∈I(\mu_\iota)_{\iota \in I}是序型的族，使得μι=μ\mu_\iota = \mu对应于每个ι∈I\iota \in I，则∑ι∈Iμι=μλ\sum\limits_{\iota \in I} \mu_\iota = \mu\lambda。我们有(λ+μ)+ν=λ+(μ+ν)(\lambda + \mu) + \nu = \lambda + (\mu + \nu)、(λμ)ν=λ(μν)(\lambda\mu)\nu = \lambda(\mu\nu)和λ(μ+ν)=λμ+λν\lambda(\mu + \nu) = \lambda\mu + \lambda\nu（但一般是λ+μ≠μ+λ\lambda + \mu \neq \mu + \lambda、λμ≠μλ\lambda\mu \neq \mu\lambda、(λ+μ)ν≠λν+μν(\lambda + \mu)\nu \neq \lambda\nu + \mu\nu）。

(f) 令(λι)ι∈I(\lambda_\iota)_{\iota \in I}和(μι)ι∈I(\mu_\iota)_{\iota \in I}是序型的两个族，由相同有序的集合I索引。证明，如果 λι≺μι\lambda_\iota \prec \mu_\iota 对于每个 ι∈I\iota \in I，则 ∑ι∈Iλι≺∑ι∈Iμι\sum\limits_{\iota \in I} \lambda_\iota \prec \sum\limits_{\iota \in I} \mu_\iota 和（如果 I 是良序的）Pι∈Iλι≺Pι∈Iμι\mathop{\mathsf{P}}\limits_{\iota \in I} \lambda_\iota \prec \mathop{\mathsf{P}}\limits_{\iota \in I} \mu_\iota。如果 J 是 I 的子集，则证明 ∑ι∈Jλι≺∑ι∈Iλι\sum\limits_{\iota \in J} \lambda_\iota \prec \sum\limits_{\iota \in I} \lambda_\iota 和（如果 I 是良序的且 λι\lambda_\iota 非空）Pι∈Jλι≺Pι∈Iλι\mathop{\mathsf{P}}\limits_{\iota \in J} \lambda_\iota \prec \mathop{\mathsf{P}}\limits_{\iota \in I} \lambda_\iota。

(g) 令λ∗\lambda^*表示集合中的序型，其顺序与λ\lambda相反。然后我们有

(λ∗)∗=λand(∑ι∈Iλι)∗=∑ι∈I∗λι∗,(\lambda^*)^* = \lambda \qquad \text{and} \qquad \left( \sum_{\iota \in I} \lambda_\iota \right)^* = \sum_{\iota \in I^*} \lambda_\iota^*,

其中 I∗I^* 表示集合 II 赋予与 II 上给出的顺序相反的顺序。

解答

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