习题 20, § 2

如果关系 $x\in X$ 蕴含 $x\subset X$，则集合 X 被称为“传递”。

(a) 如果 Y 是及物集合，则 $Y\cup\{Y\}$ 也是。如果$(Y_\iota)_{\iota\in I}$是及物族集合，则$\bigcup_{\iota\in I}Y_\iota$和$\bigcap_{\iota\in I}Y_\iota$是及物族。

(b) 如果每个及物集合 Y 使得$Y\subset X$ 和$Y\neq X$ 是X 的元素，集合 X 是一个*伪序数*。如果关系 $x\in S$ 暗示 $x\notin x$，则集合 S 被称为“体面”。证明每个伪序数都是及物且体面的（考虑X的体面及物子集的并，并使用(a)）。如果 X 是伪序数，那么 $X\cup\{X\}$ 也是伪序数。

(c) 设X为及物集合，并假设每个$x\in X$为伪序数。那么X是一个伪序数（注，对于每个$x\in X$，$x\cup\{x\}$是包含在X中的伪序数）。

(d) 证明 $\varnothing$ 是伪序数，并且伪序数 X 的每个元素都是伪序数。 （考虑X的及物子集的并，其元素是伪序数。）

(e) 如果 $(X_\iota)_{\iota\in I}$ 是伪序数族，则 $\bigcap_{\iota\in I}X_\iota$ 是该族中最小的元素（相对于包含的关系）。 （使用（b）。）推断，如果E是伪序数，则E的元素$x,y$之间的关系$x\subset y$是良序关系。

(f) 证明对于每个序数$\alpha$，存在一个唯一的伪序数$\mathrm{E}_\alpha$，使得$\mathrm{Ord}(\mathrm{E}_\alpha) = \alpha$（使用（e）和标准C60）。特别地，序型为$0, 1, 2 = 1 + 1$和$3 = 2 + 1$的伪序数分别为