习题 7, § 2

令 E 为有序集合，令 F 为 E 中所有闭包（§ 1，习题 13）的集合。序 F，只要对所有 $x \in E$ $u(x) \leqslant v(x)$ 就放置 $u \leqslant v$。那么 F 自身上至少有元素 $e$、恒等映射 E。对于每个$u \in F$，令$I(u)$表示E的元素中的集合，其在$u$下不变。

(a) 证明 F 中的 $u \leqslant v$ 当且仅当 $I(v) \subset I(u)$。

(b) 证明如果E的元素的每一个对在E中都有下确界，那么F的元素的每一个对在F中都有下确界。如果E是完全格，那么F也是完全格（§ 1，习题11）。

(c) 证明如果 E 是感性的（相对于关系 $\leqslant$），则 F 的元素的每对 $u$、$v$ 在 F 中至少有上界。（证明如果 $f(x) = v(u(x))$ 和 if $w(x)$ 表示$x$链的最大元素，相对于$f$（习题6），那么$w$是E中的闭包，并且是$u$和$v$中最小的上界。）