习题 13, § 5

令E为集合和$2m$元素，令$q$为整数$< m$，并令$\mathfrak{F}$为$\mathfrak{P}(E)$的所有子集$\mathfrak{S}$中的集合，如下性质：如果X和Y是$\mathfrak{S}$的两个不同的元素，使得$X \subset Y$，则$Y - X$至多有$2q$元素。

(a) 令$\mathfrak{M} = (A_i)_{1 \leqslant i \leqslant p}$为$\mathfrak{F}$的元素，使得$p = \mathrm{Card}\,(\mathfrak{M})$尽可能大。 证明 $m - q \leqslant \mathrm{Card}\,(A_i) \leqslant m + q$ 代表 $1 \leqslant i \leqslant p$。 （用反证法论证。 假设对于例，存在指标$i$使得$\mathrm{Card}\,(A_i) < m - q$，并考虑$A_i$中$\mathrm{Card}\,(A_i)$具有最小可能的值$m - q - s$（其中$s \geqslant 1$）。 假设 $A_1$、$\ldots$、$A_r$ 就是这些集合。 令$\mathfrak{G}$为E的子集的集合，其中每个$A_i (1 \leqslant i \leqslant r)$的并和$E - A_i$中包含的$2q + 1$元素的子集。 证明 $\mathfrak{G}$ 包含至少 $r + 1$ 元素 (cf. 习题 12)，并且如果 $B_1$、$\ldots$、$B_{r+1}$ 与 $r + 1$ 不同元素 $\mathfrak{G}$、集合，其中元素为$B_j (1 \leqslant j \leqslant r + 1)$和$A_i (r + 1 \leqslant i \leqslant p)$属于至$\mathfrak{F}$，与假设相反。）

(b) 由(a)推导出每个$\mathfrak{S} \in \mathfrak{F}$的元素$p$中的数满足不等式

(c) 当$2m$或$2q$被不均匀的数替代时，建立与(a)和(b)类似的结果。