习题 15, § 5

设 E 为有限集合，令 $\mathfrak{L}$ 和 $\mathfrak{C}$ 为 $\mathfrak{P}(\mathrm{E})$ 的两个不相交的非空子集，并令 $\lambda, h, k, l$ 为四个整数 $\geqslant 1$，具有以下属性： (i) 对于每个 $\mathrm{A} \in \mathfrak{L}$ 和每个$\mathrm{B} \in \mathfrak{C}$、$\mathrm{Card}\,(\mathrm{A} \cap \mathrm{B}) \geqslant \lambda$； (ii) 对于每个$\mathrm{A} \in \mathfrak{L}$、$\mathrm{Card}\,(\mathrm{A}) \geqslant h$； (iii) 每$\mathrm{B} \in \mathfrak{C}$、$\mathrm{Card}\,(\mathrm{B}) \leqslant k$； (iv) 对于每个$x \in \mathrm{E}$，元素或$\mathfrak{L} \cup \mathfrak{C}$的数，其中包含$x$恰好是$l$。 证明$\mathrm{Card}\,(\mathrm{E}) \leqslant hk/\lambda$。 （令$(a_i)_{1 \leqslant i \leqslant n}$为排列在某些序中的E的不同元素的序列，并且对于每个$i$，令$r_i$为$\mathfrak{L}$的元素的数，其中$a_i$属于。 证明，如果 $\mathrm{Card}\,(\mathfrak{L}) = s$ 和 $\mathrm{Card}\,(\mathfrak{C}) = t$，那么我们有

为了使$\mathrm{Card}\,(\mathrm{E})$等于$hk/\lambda$，对于每个$\mathrm{A} \in \mathfrak{L}$和每个$\mathrm{B} \in \mathfrak{C}$，我们有$\mathrm{Card}\,(\mathrm{A}) = h$，$\mathrm{Card}\,(\mathrm{B}) = k$是必要且充分的，

卡$(A \cap B) = \lambda$，并且存在一个$r \leqslant l$，使得对于$\mathfrak{L}$的元素中的每个$x \in E$数，$x$属于等于$r$。