习题 17, § 5

令$i, h, k$为三个整数，使得$i \geqslant 1$、$h \geqslant i$、$k \geqslant i$。证明存在具有以下性质的整数$m_i(h,\ k)$：对于每个有限集合 E，至少有$m_i(h,\ k)$元素，以及$i$子集的每个划分$(\mathfrak{X},\ \mathfrak{Y})$集合$\mathfrak{F}_i(E)$ E 的元素，不可能是 E 包含子集 $X \in \mathfrak{X}$ 的$h$ 元素的每一个子集以及 E 包含的$k$ 元素的每子集子集$Y \in \mathfrak{Y}$；在其他字中，如果E 包含的$h$元素的每个子集某个$X \in \mathfrak{X}$，则存在E的$k$元素的子集A，使得每个子集 $i$元素共属于至$\mathfrak{X}$。 （证明 by 归纳。表明我们可以采取

最后$m_i(h, k) = m_{i-1}(m_i(h - 1, k), m_i(h, k - 1)) + 1$。如果 E 为集合且 $m_i(h,\ k)$ 元素，如果 $a \in E$ 并且$E' = E - \{a\}$，则表明如果命题为假，则 E′ 的 $m_i(h - 1,\ k)$ 元素的每个子集都将包含子集 $i - 1$ 元素的X′使得$X' \cup \{a\} \in \mathfrak{X}$，并且E′的$m_i(h,\ k - 1)$元素的每个子集将$i - 1$元素的包含子集Y′使得$Y' \cup \{a\} \in \mathfrak{Y}$。）