习题 18, § 5

(a) 令 E 为有限有序集合，其中 $p$ 元素。如果 $m,n$ 是两个整数，使得 $mn < p$，则表明 E 要么具有 $m$ 元素的总有序子集，要么有 $n$ 的空闲子集（§ 1，习题 5） 元素（使用§ 4、习题 5）。

(b) 令$h, k$为两个整数$\geqslant 1$，并令$r(h, k) = (h - 1)(k - 1) + 1$。令 I 为有限全序集，且至少有 $r(h,\ k)$ 元素。证明，对于全序集 E 的元素的每个有限序列 $(x_i)_{i \in I}$，都存在 I 的 $h$ 元素的子集 H，使得序列 $(x_i)_{i \in H}$ 为递增，或者 $k$ 元素 I 的子集 K，使得序列 $(x_i)_{i \in K}$ 为递减。 （将 (a) 应用于 $I \times E$。）