Bourbaki

习题 7, § 5

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集合论, III, 236

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(a) 让Sn,pS_{n,p}表示[1,n][1,n]的映射到[1,p][1,p]的数。证明

Sn,p=pn−(p1)(p−1)n+(p2)(p−2)n−⋯+(−1)p−1(pp−1). S_{n,p}=p^n-\binom{p}{1}(p-1)^n+\binom{p}{2}(p-2)^n-\cdots+(-1)^{p-1}\binom{p}{p-1}.

（注即pn=Sn,p+(p1)Sn,p−1+(p2)Sn,p−2+⋯+(pp−1)p^n=S_{n,p}+\binom{p}{1}S_{n,p-1}+\binom{p}{2}S_{n,p-2}+\cdots+\binom{p}{p-1}并使用习题3。）

(b) 证明Sn,p=p(Sn−1,p+Sn−1,p−1)S_{n,p}=p(S_{n-1,p}+S_{n-1,p-1})（no. 8、命题 13 中的方法）。

(c) 证明

Sn+1,n=n2 (n+1)!andSn+2,n=n(3n+1)24 (n+2)!\mathrm{S}_{n+1,n} = \frac{n}{2}\,(n+1)!\qquad\text{and}\qquad \mathrm{S}_{n+2,n} = \frac{n(3n+1)}{24}\,(n+2)!

（考虑[1,n][1, n]中的元素rr，其逆像由多个元素组成）。

(d) 如果Pn,p\mathrm{P}_{n,p}是划分数转化为nn元素集合pp部分，则表明Sn,p=p!Pn,p\mathrm{S}_{n,p} = p!\mathrm{P}_{n,p}。

解答

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