习题 10, § 6

令 $\omega$ 或 $\omega_0$ 表示序数 Ord (N) (§ 2, 习题 14)。那么所有整数的集合良序集同构于所有序数 $< \omega$ 的集合。对于每个整数$n$，我们再次用$n$（滥用语言）表示序数Ord$([0, n[)$。

(a) 证明对于每个基数 $\mathfrak{a}$ 关系，“$\xi$ 是序数，卡$(\xi) < \mathfrak{a}$”是集合化（使用策梅洛定理）。让$W(\mathfrak{a})$表示所有序数$\xi$的集合，这样卡$(\xi) < \mathfrak{a}$。

(b) 对于序数 $\leqslant \alpha$ 到超限归纳良序集 $O'(\alpha)$ 上的每个序数 $\alpha > 0$ 定义函数 $f_\alpha$ 如下： $f_\alpha(0) = \omega_0 = \omega$，并且对于每个序数 $\xi$ 使得$0 < \xi \leqslant \alpha$、$f_\alpha(\xi)$ 是序数 $\zeta$ 的集合中最小的上界（§ 2、习题 14 (d)），使得 $\mathrm{Card}(\zeta) \leqslant \mathrm{Card}(f_\alpha(\eta))$ 对于至少一个序数 $\eta < \xi$。证明，如果$0 \leqslant \eta < \xi \leqslant \alpha$，则$\mathrm{Card}(f_\alpha(\eta)) < \mathrm{Card}(f_\alpha(\xi))$，如果$\xi \leqslant \alpha \leqslant \beta$，则$f_\alpha(\xi) = f_\beta(\xi)$。把$\omega_\alpha = f_\alpha(\alpha)$； $\omega_\alpha$ 据说是指标 $\alpha$ 的*初始序数*。我们有$\omega_\alpha \geqslant \alpha$。把$\aleph_\alpha = \mathrm{Card}(\omega_\alpha)$；据说$\aleph_\alpha$是指标*$\alpha$的*aleph。特别是$\aleph_0 = \mathrm{Card}\ (\mathbf{N})$。

(c) 证明对于每个无限基数 $\mathfrak{a}$，序数 $W(\mathfrak{a})$ 的集合中的最小上界 $\lambda$ 是初始序数 $\omega_\alpha$，并且 $\mathfrak{a} = \aleph_\alpha$（考虑最小序数 $\mu$，使得$\omega_\mu \geqslant \lambda$);在其他字中，$\omega_\alpha$是最小序数$\xi$，使得$\mathrm{Card}(\xi) = \aleph_\alpha$。对于在 $O'(\alpha)$ 上定义的每个序数 $\alpha$ 映射 $\xi \rightarrow \aleph_\xi$，是良序集 $O'(\alpha)$ 的同构到基数 $\leqslant \aleph_\alpha$ 的良序集；特别是，$\aleph_{\alpha+1}$是最小基数$> \aleph_\alpha$。证明，如果 $\alpha$ 没有前身，那么对于序数 $\beta$ 到 $\alpha$ 的每个严格递增的映射 $\xi \rightarrow \sigma_\xi$，使得$\alpha = \sup_{\xi < \beta} \sigma_\xi$，我们有

(d) 从(c)推导出$\omega_\xi$是正常序数函数符号(§ 2,习题17)。