习题 16, § 6

每个全序集都有一个有序的共尾子集（§2，习题2）。 E 的良序共尾子集 M 的最小序数 Ord (M) 称为 E 的*尾特征标*。

(a) 如果序数 $\xi$ 等于其最后的特征标，则称其为“正则”，否则为“单数”。证明每个无限正则序数都是初始序数 $\omega_\alpha$ (习题 10)。相反，每个初始序数 $\omega_\alpha$ ，其指标 $\alpha$ 要么为 0，要么有一个前导，是一个常规序数。 指标 $\alpha$ 没有前任的初始序数 $\omega_\alpha$ 是单数，如果 $0 < \alpha < \omega_\alpha$；特别是，$\omega_\omega$是最小无限奇异初始序数。

(b) 如果初始序数 $\omega_\alpha$ 是正则且其指标 $\alpha$ 没有前任，则称其为“不可访问”。证明，如果$\alpha = 0$，则$\omega_\alpha = \alpha$；在其他字中，$\alpha$ 是相对于普通功能符号 $\omega_\eta$（习题 10 (d) 和 13 (c)）的关键序数。令 $\varkappa$ 成为该函数符号最不重要的序数。证明 $\omega_\varkappa$ 是单数，最终特征标 $\omega$ (cf. 习题 13 (d))。在其他字中，不存在不可访问的序数$\omega_\alpha$使得$0 < \alpha \leqslant \varkappa$.[^1]

(c) 证明在给定的全序集 E 中只存在一个共尾的正则序数；该序数等于 E 的最终特征标，如果 E 不为空且没有最大元素，则它是初始序数。如果$\omega_{\bar{\alpha}}$是$\omega_\alpha$的最终特征标，则$\bar{\alpha} \leqslant \alpha$；并且$\omega_\alpha$是正则当且仅当$\alpha = \bar{\alpha}$。

(d) 令 $\omega_\alpha$ 为常规序数，令 I 为良序集，使得 Ord (I) $< \omega_\alpha$。证明，对于每个序数族$(\xi_\iota)_{\iota \in I}$，对于所有$\iota \in I$，$\xi_\iota < \omega_\alpha$，我们有$\sum_{\iota \in I} \xi_\iota < \omega_\alpha$。

[^1]: At present it is not known whether or not there exist inaccessible ordinals other than $\omega$.