习题 27, § 6

令L为无限集合，并令$(\mathrm{E}_\lambda)_{\lambda \in \mathbf{L}}$为由L索引的集合族。假设对于$\lambda \in \mathrm{L}$的每个整数$n > 0$集合，使得卡$(\mathrm{E}_\lambda) > n$等价于L。证明存在乘积 $\mathrm{E} = \prod_{\lambda \in \mathbf{L}} \mathrm{E}_\lambda$ 的子集 F，使得 Card $(\mathrm{F}) = 2^{\mathrm{Card\ (L)}}$，并且 F 具有以下性质 ：对于 F 的不同元素的每个有限序列 $(f_k)_{1 \leqslant k \leqslant n}$，存在 $\lambda \in \mathrm{L}$ 使得元素

都是不同的。 （首先证明L存在划分$(\mathrm{L}_j)_{j \in \mathbf{N}}$，使得所有$j$都有卡$(\mathrm{L}_j) =$卡（L），并且每个$\lambda \in \mathrm{L}_j$都有卡$(\mathrm{E}_\lambda) \geqslant 2^j$。因此约化对于L的情况集合 $\mathrm{X}^j$ $(j \geqslant 1)$ 的可数族中的和，其中 X 为无限集合，每个 $\lambda \in \mathrm{X}^j$ 为 $\mathrm{E}_\lambda = 2^j$，其中 X 的每个映射 $g \in 2^{\mathrm{X}}$ 为2、关联元素$f \in \mathrm{E}$，使得每当$\lambda = (x_k)_{1 \leqslant k \leqslant j} \in \mathrm{X}^j$时$f(\lambda) = (g(x_1), \ \ldots, \ g(x_j))$；表明如此定义的元素$f \in \mathrm{E}$的集合F具有所需的性质。）