习题 4, § 7

令I为非空有向集合，没有最大元素，并令F为I的元素的偶数数$\geqslant 2$的所有序列$x = (\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_{2n-1}, \alpha_{2n})$的集合，具有以下属性： (i) $\alpha_{2i-1} < \alpha_{2i}$ 为 $1 \leqslant i \leqslant n$； (ii) $\alpha_{2i-1} \not\leqslant \alpha_{2j-1}$ 为 $1 \leqslant j < i \leqslant n$。 集合 F 不为空。把$r(x) = \alpha_{2n-1}$，$s(x) = \alpha_{2n}$。 整数$n$称为$x$的*长度*。

(a) 对于每个$\alpha \in I$，令$E_\alpha$为所有$x \in F$中的集合，使得$r(x) = \alpha$。那么$E_\alpha$不为空。对于I中的$\alpha \leqslant \beta$，我们将$E_\beta$的定义映射$f_{\alpha\beta}$转换为I的元素所有有限序列的集合，如下：

令 $j$ 至少为指标，使得 $\alpha \leqslant \alpha_{2j-1}$；然后

证明$f_{\alpha\beta}(E_\beta) = E_\alpha$ 和$(E_\alpha, f_{\alpha\beta})$ 是集合相对于I 的逆系。

(b) 证明如果$x_\alpha \in E_\alpha$和$x_\beta \in E_\beta$存在指标$\gamma$（其中$\gamma \geqslant \alpha$和$\gamma \geqslant \beta$），以及元素$x_\gamma \in E_\gamma$（其中$x_\alpha = f_{\alpha\gamma}(x_\gamma)$和$x_\beta = f_{\beta\gamma}(x_\gamma)$），那么，还提供$x_\alpha$和$x_\beta$有相同的长度，我们有$s(x_\alpha) = s(x_\beta)$。

(c) 从(b)推导出，如果$E = \varprojlim E_\alpha$不为空且$y = (x_\alpha) \in E$，则元素$s(x_\alpha)$中的集合是可数的并且在I中共尾。

(d) 设I为不可数集合A的所有有限子集中的集合，按包含排序。证明I没有可数共尾子集，因此从集合$(E_\alpha, f_{\alpha\beta})$的逆系的例推出，其中$E_\alpha$非空且$f_{\alpha\beta}$是满射，但对于$E = \varprojlim E_\alpha = \emptyset$。

(e) 从映射$u_\alpha : E_\alpha \to E'_\alpha$的逆系的(d)例推出，使得每个$u_\alpha$是满射的，但$\varprojlim u_\alpha$不是满射的（让每个$E'_\alpha$由单个元素组成）。