习题 7, § 7

令I为有向集合，令$(E_\alpha, f_{\beta\alpha})$为集合相对于I的直接系统。对于每个$\alpha \in I$，令$f_\alpha : E_\alpha \to E = \varinjlim E_\alpha$为典范映射。在每个$E_\alpha$中，令$R_\alpha$为等价关系$f_\alpha(x) = f_\alpha(y)$。

证明，只要 $\alpha \leqslant \beta$，映射 $f_{\beta\alpha}$ 就与等价关系 $\mathrm{R}_\alpha$ 和 $\mathrm{R}_\beta$ 相容的。设$\mathrm{E}'_\alpha = \mathrm{E}_\alpha/\mathrm{R}_\alpha$，并设$f'_{\beta\alpha}$为$\mathrm{E}'_\alpha$的映射到$\mathrm{E}'_\beta$由$f_{\beta\alpha}$在经过上引出的商。证明 $f'_{\beta\alpha}$ 是单射，$(\mathrm{E}'_\alpha, f'_{\beta\alpha})$ 是集合的直接系统，以及定义 E 到 $\varinjlim \mathrm{E}'_\alpha$ 的规范双射。