习题 9, § 7

令I是*任意*预排序的集合，并让$(\mathrm{E}_\alpha)_{\alpha \in \mathrm{I}}$是由I索引的集合族。对于指标$(\alpha, \beta)$中的每个对使得$\alpha \leqslant \beta$，让$f_{\beta\alpha}$是$\mathrm{E}_\alpha$的映射进入$\mathrm{E}_\beta$，并假设这些映射满足条件$(\mathrm{LI_I})$和$(\mathrm{LI_{II}})$。令G为集合，即家庭$(\mathrm{E}_\alpha)$的和，并且（no. 5的记号）令$\mathrm{R}\{x, y\}$为关系“$\lambda(x) = \alpha \leqslant \lambda(y) = \beta$和$y = f_{\beta\alpha}(x)$”，位于两个元素$x$之间， G 的 $y$。设 $\mathrm{R}'$ 为 G 上的等价关系，G 的图是等价关系图的最小的，其中包含 R 的图（章 II, § 6，习题 10）。 集合$\mathrm{E} = \mathrm{G}/\mathrm{R}'$相对于映射$(f_{\beta\alpha})$家族被称为$(\mathrm{E}_\alpha)$家族的*直极限*，我们写为$\mathrm{E} = \varinjlim \mathrm{E}_\alpha$。当指标集合I是*有向*时，证明这个定义与no. 5中给出的一致。一般情况下，G 的典范映射到E的限制到$\mathrm{E}_\alpha$称为$\mathrm{E}_\alpha$到E的典范映射，记为$f_\alpha$。假设对于每个$\alpha \in \mathrm{I}$，将$\mathrm{E}_\alpha$的映射$u_\alpha$放入F中，使得每当$\alpha \leqslant \beta$时就有$u_\beta \circ f_{\beta\alpha} = u_\alpha$；表明存在 E 到 F 中的唯一映射 $u$，使得每个 $\alpha \in \mathrm{I}$ 都有 $u = u_\alpha \circ f_\alpha$。