Bourbaki

习题 1, § 2

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集合论, IV, 290

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设S为符号P\mathsf{P}、P−\mathsf{P}^-、X\mathsf{X}、X−\mathsf{X}^-、x1x_1、...、xnx_n的集合，字母xix_i为权0、P\mathsf{P}和P−\mathsf{P}^- 权 1，以及权 2 的X\mathsf{X}、X−\mathsf{X}^-。对于L(S) 中的每个字 A，我们定义 A 的*方差*如下：每个字母xix_i，以及符号P\mathsf{P}， X\mathsf{X}，方差为0；符号 P−\mathsf{P}^-、X−\mathsf{X}^- 的方差为 1； A 的方差为和 \* (在域 F2\mathbf{F}_2) \* A 中出现的符号的方差（在其他字中，如果包含是方差 1 的 偶数 数，则为 0，否则为 1）。

A 有符号梯形型 是L(S) 中的平衡字 A (章 I, 附录, no. 3)，满足以下两个条件之一： (1) A 是字母之一xix_i； (2) 如果A是形式fA1A2…Apf\mathrm{A}_1\mathrm{A}_2 \ldots \mathrm{A}_p（章I、附录、no. 3、命题2的推论2），其中ff是P\mathsf{P}之一， P−\mathsf{P}^-、X\mathsf{X}、X−\mathsf{X}^-、pp等于1或2且Ai\mathrm{A}_i、(1⩽i⩽p)(1 \leqslant i \leqslant p)平衡字，则每个Ai\mathrm{A}_i都是一个有符号梯队型；此外，如果f=Xf = \mathsf{X}，则A1\mathrm{A}_1和A2\mathrm{A}_2的方差为0，如果f=X−f = \mathsf{X}^-，则A1\mathrm{A}_1和A2\mathrm{A}_2的方差为1。

如果有符号梯队型的方差为 0，则称为“协变”；如果方差为 1，则称为“逆变”。如果在有符号梯队型 A 中，我们分别通过 P\mathsf{P} 和 X\mathsf{X} 替换 P−\mathsf{P}^- 和 X−\mathsf{X}^-，我们得到梯队型 A\* (§ 1, 习题 1)。 nn 项 E1\mathrm{E}_1, ..., En\mathrm{E}_n 上的梯队型 A\* 的每个实现称为 E1\mathrm{E}_1, ..., En\mathrm{E}_n 上有符号梯队型* A 的*实现，并可写为A(E1,…,En)\mathrm{A}(\mathrm{E}_1, \ldots, \mathrm{E}_n)。

令E1\mathrm{E}_1，...，En\mathrm{E}_n，E1′\mathrm{E}'_1，...，En′\mathrm{E}'_n为集合，并令fif_i为Ei\mathrm{E}_i的映射到Ei′\mathrm{E}'_i(1⩽i⩽n)(1 \leqslant i \leqslant n)。证明对于 x1x_1, ..., xnx_n 上的每个有符号梯队型 S，我们可以将映射 {f1,…,fn}S\{f_1, \ldots, f_n\}^{\mathrm{S}} 关联起来，具有以下属性：

(i) 如果 S 是协变（或逆变），则 {f1,…,fn}S\{f_1, \ldots, f_n\}^{\mathrm{S}} 是 S(E1,…,En)\mathrm{S}(\mathrm{E}_1, \ldots, \mathrm{E}_n) 的映射到 S(E1′,…,En′)\mathrm{S}(\mathrm{E}'_1, \ldots, \mathrm{E}'_n)（或 S(E1′,…,En′)\mathrm{S}(\mathrm{E}'_1, \ldots, \mathrm{E}'_n) 到 S(E1,…,En)\mathrm{S}(\mathrm{E}_1, \ldots, \mathrm{E}_n)）。

(ii) 如果 S 是字母xix_i，则{f1,…,fn}S\{f_1, \ldots, f_n\}^{\mathrm{S}} 是fif_i。

(iii) 如果 S 为 PT\mathsf{P}\mathrm{T}（分别为 P−T\mathsf{P}^-\mathrm{T}），并且如果 g={f1,…,fn}Tg = \{f_1, \ldots, f_n\}^{\mathrm{T}} 为 F 到 F′ 的映射，则 {f1,…,fn}S\{f_1, \ldots, f_n\}^{\mathrm{S}} 为 gg 的扩张到子集的集合（分别为扩张） g−1\overset{-1}{g} 至集合共子集）。

(iv) 如果S是XTU\mathsf{X}\mathrm{TU}或X−TU\mathsf{X}^-\mathrm{TU}，如果{f1,…,fn}T\{f_1, \ldots, f_n\}^{\mathrm{T}}是映射g:F→F′g : \mathrm{F} \to \mathrm{F}'并且如果{f1,…,fn}U\{f_1, \ldots, f_n\}^{\mathrm{U}}是映射h:G→G′h : \mathrm{G} \to \mathrm{G}'，则{f1,…,fn}S\{f_1, \ldots, f_n\}^{\mathrm{S}}是扩张g×h:F×G→F′×G′g \times h : \mathrm{F} \times \mathrm{G} \to \mathrm{F}' \times \mathrm{G}'。

映射 {f1,…,fn}S\{f_1, \ldots, f_n\}^{\mathrm{S}} 被称为f1,…,fnf_1, \ldots, f_n 相应的的*签名规范扩张* 到签名梯队型 S。如果S 是一个梯队型（即，如果P−\mathsf{P}^- 和X−\mathsf{X}^- 不出现）在 S) 中，则有符号规范扩张 {f1,…,fn}S\{f_1, \ldots, f_n\}^{\mathrm{S}} 等于 ⟨f1,…,fn⟩S\langle f_1, \ldots, f_n \rangle^{\mathrm{S}}。

证明，如果fif_i是Ei\mathrm{E}_i的映射到Ei′\mathrm{E}'_i，并且如果fi′f'_i是Ei′\mathrm{E}'_i到Ei′′\mathrm{E}''_i(1⩽i⩽n)(1 \leqslant i \leqslant n)的映射，那么对于协变有符号梯队型S，我们有

{f1′∘f1,…,fn′∘fn}S={f1′,…,fn′}S∘{f1,…,fn}S,\{f'_1 \circ f_1, \ldots, f'_n \circ f_n\}^{\mathrm{S}} = \{f'_1, \ldots, f'_n\}^{\mathrm{S}} \circ \{f_1, \ldots, f_n\}^{\mathrm{S}},

对于逆变有符号梯队型，我们有

{f1′∘f1, …,fn′∘fn}S={f1, …,fn}S∘{f1′, …,fn′}S.\{f'_1 \circ f_1, \ \ldots, f'_n \circ f_n\}^{\mathrm{S}} = \{f_1, \ \ldots, f_n\}^{\mathrm{S}} \circ \{f'_1, \ \ldots, f'_n\}^{\mathrm{S}}.

推出，如果fif_i是Ei\mathrm{E}_i到Ei′\mathrm{E}'_i的双射，并且如果fi′f'_i是它的逆双射(1⩽i⩽n)(1 \leqslant i \leqslant n)，那么{f1,…,fn}S\{f_1, \ldots, f_n\}^{\mathrm{S}}是双射并且{f1′,…,fn′}S\{f'_1, \ldots, f'_n\}^{\mathrm{S}}是它的逆。此外，如果S∗\mathrm{S}^*是有符号梯队型S的（无符号）梯队型相应的，则根据S是协变还是逆变，{f1,…,fn}S\{f_1, \ldots, f_n\}^{\mathrm{S}}等于⟨f1,…,fn⟩S∗\langle f_1, \ldots, f_n \rangle^{\mathrm{S}^*}或⟨f1′,…,fn′⟩S∗\langle f'_1, \ldots, f'_n \rangle^{\mathrm{S}^*}。

解答

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