习题 3, § 3

令$\Sigma$为结构种，令$(\mathrm{A}_\iota)_{\iota \in \mathrm{I}}$为集合的族，对于每个$\iota \in \mathrm{I}$，令$\mathscr{S}_\iota$为$\mathrm{A}_\iota$上类$\Sigma$的结构。设 E 为集合，它是$(\mathrm{A}_\iota)_{\iota \in \mathrm{I}}$族的和，每个$\mathrm{A}_\iota$被视为E的子集。假设我们给出类$\Sigma$的$\sigma$态射的概念，以及定义一个$\alpha$-将 E 的映射 $\varphi$ 映射到$\Sigma$-集合 F，使得对于每个 $\iota \in \mathrm{I}$，$\varphi$ 到 $\mathrm{A}_\iota$ 的限制是 $\mathrm{A}_\iota$ 到 F 的态射。证明，如果E存在解$(\mathrm{F_E}, \varphi_\mathrm{E})$到普遍映射问题，则$\mathrm{F_E}$上类$\Sigma$的结构是关于族$(\mathrm{A}_\iota, \mathscr{S}_\iota, \varphi_\iota)_{\iota \in \mathrm{I}}$的*最终结构*，其中$\varphi_\iota$表示$\varphi_\mathrm{E}$至$\mathrm{A}_\iota$中的限制。

此外，令F为集合，对于每个$\iota \in \mathrm{I}$，令$f_\iota$为F中$\mathrm{A}_\iota$的映射。如果关于族$(\mathrm{A}_\iota, \mathrm{B}_\iota, f_\iota)_{\iota \in \mathrm{I}}$，F上存在类$\Sigma$的最终结构，那么我们可以写$f_\iota = f \circ \varphi_\iota$，其中$f$是F中$\mathrm{F_E}$的态射，F上的结构是$\mathrm{F_E}$上结构的$f$下的*直接像*。

考虑以下情况的应用：

\* (i) $\Sigma$是代数结构的类，态射是同态，并且满足条件$(\mathrm{CU_I})$到$(\mathrm{CU_{III}})$。对于半群结构群结构、模结构、代数结构等来说也是如此。在群的情况下，$\Sigma$集合$\mathrm{F_E}$被称为$\mathrm{A}_\iota$的*自由乘积*， 直和（若为模），*直接乘积*（若为代数）。

(ii) $\Sigma$ 是拓扑群结构的类或拓扑向量空间结构的类。然后满足条件$(\mathrm{CU_I})$到$(\mathrm{CU_{III}})$。在局部凸拓扑向量空间的情况下，$\mathrm{F_E}$称为$\mathrm{A}_\iota$的*拓扑直和*。 \*