习题 11, § 1

在非离散拓扑划分环 K 上的拓扑向量空间 E 中，存在 0 的闭邻域的基本系统 $\mathfrak{B}$、满足条件 (EV$_{\text{II}}$) 和 (EV$_{\text{III}}$) 以及以下两个： (EV$_{\text{Ia}}$) 对于每个$V \in \mathfrak{B}$，K 中存在 0 的 $W \in \mathfrak{B}$ 和邻域 U，使得 UW $\subset V$。 (EV$_{\text{Ib}}$) 对于每个$x \in E$和每个$V \in \mathfrak{B}$，K中都存在$\lambda \neq 0$使得$\lambda x \in V$。 相反，令 E 为 K 上的向量空间，并令 $\mathfrak{B}$ 为 E 满足条件 (EV$_{\text{Ia}}$)、(EV$_{\text{Ib}}$)、(EV$_{\text{II}}$) 和 (EV$_{\text{III}}$) 上的滤波器基。证明 E 上存在拓扑（并且只有一个），它与 E 的向量空间结构兼容，并且其中 $\mathfrak{B}$ 是 0 的邻域的基本系统。