习题 13, § 1

设E是无限维数超过$\mathbf{R}$的向量空间，并让$\mathfrak{T}$是E的所有吸收和平衡集合的族。证明$\mathfrak{T}$不满足公理（EV$_{\text{III}}$）（在其他情况下字不是基本原理） 0 的邻域的系统对于拓扑与 E 的加法群结构兼容。为此，考虑E中的无限独立族$(e_n)_{n \geq 1}$；对于每个整数$n \geq 1$，令$A_n$为点$\sum_{i=1}^n t_i e_i$的集合，使得$|t_i| \leq 1/n$对应于$1 \leq i \leq n$；令A为$A_n$的并，V为子空间，与$e_n$生成的E的子空间互补，并为集合$A + V$写为C；表明不存在集合 $M \in \mathfrak{T}$ 使得$M + M \subset C$。